Логические задачи
1 В гараже стоят всего 750 автомобилей. У грузовых авто 6 колес. У легковых — 4 колеса. Сколько каких автомобилей стоят в гараже, если всего колес 3024?
2 Две мухи между собой соревнуются. Они бегут от пола к потолку, а затем обратно. Первая муха бежит и вверх, и вниз с одинаковой скоростью. Вторая вниз бежит вдвое быстрее, чем первая, а вверх — вдвое медленнее. Какая из мух победит? Решить задачу поможет чертеж.
3 Ваня, Петя, Катя и Олег вместе съели 70 бананов. Причем каждому сколько-то досталось. Ваня съел больше всех. Катя и Петя вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось Олегу?
4 В доме 6 этажей. Вопрос: во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на третий этаж, если пролеты между этажами имеют по одинаковому числу ступенек?
5 Поезд шел из Москвы в Петербург без остановок со скоростью 120 км/ч. Другой поезд также без остановок шел ему навстречу из Петербурга в Москву со скоростью 80 км/ч. Вопрос: на каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи ?
6 В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс — будущий великий математик. Как он это сделал?
7 Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?
8 Имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Попробуйте в три приема отвесить 2 кг этой крупы.
9 Для того чтобы получить краску оранжевого цвета, необходимо смешать краски желтого цвета (6 частей) и красного (2 части). Сколько граммов краски оранжевого цвета можно получить (максимально), имея в наличии 3 грамма желтой и 3 грамма красной краски?
10 Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?
11 Имеется 10 мешков с монетами (количество монет в каждом мешке одинаковое). В девяти мешках монеты золотые, а в одном — фальшивые. Вес настоящей золотой монеты 5 граммов, а вес фальшивой — 4 грамма. Как за одно взвешивание на весах (весы взвешивают с точностью до грамма) определить, в каком из мешков монеты фальшивые?
12 Двое соседей-дачников собрались построить мост через ручей, разделяющий их дачные участки. Расстояние от ручья до домика каждого дачника разное, причем домик одного дачника располагается чуть ниже по течению относительно домика другого. Как построить мост через ручей, чтобы он отстоял на одинаковом расстоянии от обоих домиков?
Ответы к логическим задачам
1. 738 легковых авто и 12 грузовых.
2. Первая.
3. Катя и Петя съели 45 бананов, кто-то из них съел не меньше 23 бананов. Значит, Ваня съел не менее 24 бананов. Петя, Катя и Ваня вместе съели не менее 69 бананов. Но раз Олегу тоже что-то досталось, то Катя, Петя и Ваня съели 69 бананов. Значит, Олег съел 1 банан.
4. В два с половиной раза.
5. За 1 час до встречи они будут на расстоянии 200 км (120+80).
6. Гаусс выделил 49 пар чисел: 99 и 1, 98 и 2, 97 и 3 … 51 и 49. В сумме каждая пара чисел равнялась ста, и оставалось два непарных числа 50 и 100. Следовательно, 49х100+50+100=5050.
7. Вначале переправляются оба сына. Один из сыновей возвращается обратно к отцу. Отец перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.
8. Нужно развесить крупу на две равные части по 4,5 кг; затем развесить одну из этих частей еще раз пополам, то есть по 2,25 кг, и от одной из этих частей отнять при помощи двух имеющихся гирь 250 г. Таким образом, вы получите вес в 2 кг.
9. Из условия задачи видно, что желтой краски требуется в 3 раза больше, чем красной. Следовательно, имея в наличии 3 грамма желтой краски, необходимо взять 1 грамм красной краски. То есть оранжевой краски при смешивании получится 4 грамма.
10. Понадобятся те же пять землекопов, не больше. В самом деле, пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы, значит, пять землекопов за 1 час вырыли бы 1 м канавы, а за 100 часов — 100 м.
11. Пронумеруем мешки от 1 до 10. Из первого мешка возьмем 1 монету, из второго 2, из третьего 3, и так до 10 монет (суммарно 55 монет). Произведем взвешивание этих монет. Если бы все монеты были золотыми, то весили бы 275 граммов. Если при нашем взвешивании не будет хватать 1 грамма, то фальшивые монеты в первом мешке, если 2 граммов — то во втором, и так далее до 10.
12. Задача решается с помощью несложных геометрических расчетов. Сначала замеряем расстояние (по прямой линии) между домиками и делим его пополам. Для наглядности можно воспользоваться длинной веревкой, натянув ее между домиками. В средней части веревки делаем отметку и устанавливаем из нее перпендикуляр (к веревке) по направлению к ручью. Точка пересечения перпендикуляра с ручьем укажет на искомое место для постройки моста.